Fast decaying potentials on the finite-gap background and the $\bar \partial$-problem on the Riemann surfaces

Изучаются прямая и обратная задачи рассеяния для оператора теплопроводности $L_P=\partial_y-\partial_x^2+u(x,y)$ для следующего класса потенциалов: $u(x,y)=u_0(x,y)+u_1(x,y)$, где $u_0(x,y)$ – несингулярный вещественный конечно-щелевой потенциал, а $u_1(x,y)$ быстро убывает при $x^2+y^2 \rightarrow \infty$. Мы показываем, что данные рассеяния для такого потенциала являются данными $\bar{\partial }$-задачи на римановой поверхности, соответствующей потенциалу $u_0(x,y)$. Описаны данные рассеяния для вещественных потенциалов и доказано, что обратная задача, соответствующая этим данным, имеет единственное решение без допущения “малости нормы”. Получены аналоги этих результатов для задачи рассеяния с фиксированной отрицательной энергией для двумерного не зависящего от времени оператора Шредингера $L_P=-\partial _x^2-\partial _y^2+u(x,y)$.