Определитель Изергина–Корепина при кубическом корне из единицы

Рассматривается статистическая сумма для неоднородной шестивершинной модели, определенной на $(n\times n)$-квадратной решетке. Эта сумма зависит от $2n$ спектральных параметров $x_i$ и $y_i$, приписанных горизонтальным и вертикальным линиям, соответственно. В случае граничных условий типа доменной стенки она дается определителем Изергина–Корепина. При $q$, равном корню степени $N$ из единицы, эта статистическая сумма удовлетворяет специальному линейному функциональному уравнению, которое является особенно простым и полезным, когда кроссинг-параметр $\eta=2\pi/3$, т. е. когда $N=3$. Хорошо известно, что рассматриваемая статистическая сумма симметрична как по переменным $\{x\}$, так и по переменным $\{y\}$. С использованием вышеупомянутого уравнения найдено, что в случае $\eta=2\pi/3$ она симметрична в объединении $\{x\}\cup\{y\}$. Кроме того, это уравнение может быть использовано для решения некоторых проблем, относящихся к перечислению матриц чередующихся знаков. В частности, воспроизведено детальное перечисление матриц чередующихся знаков, открытое Миллсом, Роббинсом и Рамсеем и доказанное Цайлбергером, а также получены формулы для двойного детального перечисления этих матриц.