О динамических системах на двумерной сфере, связанных с дробными гамильтонианами

Рассмотрен класс “дробных” гамильтоновых систем, обобщающий классическую задачу о движении в центральном поле. Анализ основан на преобразовании интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы на плоскости в динамическую систему, определенную на сфере и наследующую интегралы движения исходной системы. Показано, что существует одномерное многообразие в четырехмерном пространстве структурных параметров (содержащее случай плоской задачи Кеплера), вдоль которого сохраняются замкнутость орбит всех финитных движений и справедливость третьего закона Кеплера. Аналогично существует одномерное многообразие (содержащее двумерный изотропный гармонический осциллятор), вдоль которого сохраняются замкнутость орбит и изохронность колебаний. Деформация орбит на выделенных многообразиях не нарушает скрытой симметрии, характерной для двумерного изотропного осциллятора и плоской задачи Кеплера. Рассмотрены также двумерные многообразия, на которых все системы характеризуются одинаковым числом вращения орбит всех финитных движений.