Вывод и исследование усредненного квантового уравнения движения для нелинейного осциллятора в поле гармонической силы

Из усредненного по времени уравнения Шредингера получено приближенное квантовое уравнение для функции $\xi$, дающей разложение состояния осциллятора по некоторым состояниям, переходящим в случае линейного осциллятора или в квазиклассическом случае в когерентные состояния. Показано, что влияние квантовых эффектов для нелинейного осциллятора приводит к диффузии $\xi$ по пространству переменных, которым в классической теории соответствуют переменные действие – угол; коэффициенты диффузии пропорциональны $\hbar d^2E/dI^2$, где $E(n)$ – термы осциллятора, $I=\hbar n$ – переменная действия. При условиях, когда классический осциллятор в режиме установившегося движения (т.е. без биений амплитуды) может находиться в двух различных устойчивых состояниях, квантовый осциллятор вследствие диффузии может находиться только в одном из этих состояний – в состоянии с б\`ольшей энергией.