Уравнения с однородными ядрами и преобразование Меллина обобщенных функций

Для того чтобы интегродифференциальный оператор $A$ с однородным ядром на полупрямой был непрерывен в пространстве умеренных распределений, необходимо и достаточно, чтобы его ядро удовлетворяло условию гладкости (теорема 4, определение 6). При этом условии собственное число $A(\xi)$, соответствующее собственной функции $x_{+}^{-i\xi}$, имеет рост не выше степенного при $|\xi|\to\infty$, $|\operatorname{Im}\xi|\leqslant C<\infty$. Для нормальной разрешимости оператора $A$ достаточно (с некоторыми уточнениями необходимо и достаточно – теорема 5), чтобы $A^{-1}(\xi)$ также имела рост не выше степенного при тех же $\xi$. Получены формулы (2.12) для общего решения уравнения $Au=f$ в виде сходящихся, т.е. регуляризованных, интегралов. Для этого разработан аппарат преобразования Меллина обобщенных функций.