Полиномиальные алгебры Пуассона с регулярной структурой симплектических листов

Исследуются полиномиальные алгебры Пуассона с определенными условиями регулярности. Алгебрами такого класса являются, в частности, линейные структуры (структуры Ли–Березина–Кириллова) на дуальных пространствах полупростых алгебр Ли, квадратичные эллиптические алгебры Склянина, а также полиномиальные алгебры, недавно описанные Бондалом, Дубровиным и Угальей. В этих алгебрах найдены простые детерминантные соотношения между скобками и операторами Казимира. Эти соотношения, в частности, устанавливают, что сумма степеней операторов Казимира совпадает с размерностью алгебры для эллиптических алгебр Склянина. Приводятся примеры таких алгебр и показано, что некоторые из них естественным образом возникают в гамильтоновых интегрируемых системах. Среди этих примеров находится и новый класс двухчастичных интегрируемых систем, зависящий эллиптическим образом как от координат, так и от импульсов.