БРСТ-оператор для квантовых алгебр Ли: связь с bar-комплексом

Квантовые алгебры Ли обобщают (супер)алгебры Ли и представляют собой важный класс квадратичных алгебр, возникающих в исчислении Вороновича на квантовых группах. Многие понятия теории (супер)алгебр Ли обобщаются на “квантовый” случай. В частности, имеется БРСТ-оператор $Q$ ($Q^2=0$), который порождает дифференциал в теории Вороновича и дает информацию о (ко)гомологиях квантовых алгебр Ли. В наших предыдущих работах было сформулировано и решено рекуррентное соотношение для оператора $Q$ квантовых алгебр Ли. В данной работе рассматриваются bar-комплекс для $q$-алгебр Ли и его подкомплекс $q$-антисимметричных цепей. Устанавливается цепное отображение (являющееся изоморфизмом) стандартного комплекса для $q$-алгебры Ли в подкомплекс антисимметричных цепей. Для этого используется ряд нетривиальных тождеств в групповой алгебре группы кос. Обсуждается также обобщение стандартного комплекса на случай, когда $q$-алгебра Ли снабжена оператором градуировки.