Топологические характеристики спектра оператора Шредингера в магнитном поле и слабом потенциале

Исследуется двумерный оператор Шредингера $H$ в периодическом магнитном поле $B(x,y)$ и электрическом поле с периодическим потенциалом $V(x,y)$. Предполагается, что функции $B(x,y)$ и $V(x,y)$ периодичны относительно некоторой решетки $\Gamma$ в $R^2$ и поток магнитного поля сквозь элементарную ячейку есть целое число. Оператор $H$ представляется в виде прямого интеграла по двумерному тору обратной решетки эллиптических самосопряженных операторов $H_{p_1,p_2}$, обладающих дискретным спектром $\lambda_j(p_1,p_2)$, $j=0,1,2,\dots$. Исходя из точно интегрируемого случая – оператора Шредингера в постоянном магнитном поле – по теории возмущений исследуются типичные законы дисперсии $\lambda_j(p_1,p_2)$ и устанавливаются их топологические характеристики (квантовые числа). Доказана теорема: в случае общего положения оператор Шредингера имеет счетное число законов дисперсии с произвольными квантовыми числами, никак не связанными друг с другом и с потоком внешнего магнитного поля.