Бездисперсионный предел уравнений Хироты в некоторых задачах комплексного анализа

Обсуждается интегрируемая структура, недавно обнаруженная в некоторых классических задачах теории функций одного комплексного переменного. Для односвязной области в комплексной плоскости рассматриваются задача конформного отображения, граничная задача Дирихле и двумерная обратная задача теории потенциала. На пространстве таких областей построено некоторое замечательное семейство вещественнозначных функционалов. Если рассматривать их как функции бесконечного множества переменных, которые являются подходящим образом определенными моментами области, любой функционал из этого семейства дает формальное решение перечисленных выше задач. Показано, что определенные таким образом функции удовлетворяют бесконечному множеству бездисперсионных уравнений Хироты. Это означает, что они являются $\tau$-функциями некоторой интегрируемой иерархии. Эта иерархия отождествляется с бездисперсионным пределом двумеризованной цепочки Тоды. В дополнение к нашим предшествующим результатам показано, что при более общем определении моментов указанная взаимосвязь не является специфичной для какого-нибудь одного решения уравнений Хироты, а отражает структуру самой иерархии.