$XXZ$-спиновая цепочка с параметром асимметрии $\Delta =-1/2$. Вычисление простейших корреляторов

Рассматривается конечная $XXZ$-спиновая цепочка с периодическими граничными условиями и нечетным числом узлов. Оказывается, что при специальном значении параметра асимметрии $\Delta =-1/2$ основное состояние этой системы, описываемой гамильтонианом $H_{xxz}=-\sum_{j=1}^{N}\bigl\{\sigma_j^{x}\sigma_{j+1}^{x}+ \sigma_j^{y}\sigma_{j+1}^{y}-\frac12\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z\bigr\}$, имеет энергию $E_0=-3N/2$. Хотя это состояние имеет антиферромагнитный характер, тем не менее удается найти соответствующее решение уравнений Бете. Точнее, удается явно построить тригонометрический полином $Q(u)$ степени $n=(N-1)/2$, нули которого являются параметрами волновой функции Бете для основного состояния системы. Как известно, этот полином удовлетворяет $T$–$Q$-уравнению Бакстера. С помощью второго независимого решения этого уравнения, соответствующего тому же самому собственному значению трансфер-матрицы $T$, можно найти производную от энергии основного состояния $XXZ$-цепочки по кроссинг-параметру $\eta$. Эта производная непосредственно связана с одной из спин-спиновых корреляций, которая оказывается равной $\langle\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z\rangle=-1/2+3/2N^2$. Эта корреляция, в свою очередь, дает среднее число спиновых струн для основного состояния рассматриваемой цепочки $\langle N_{\text{string}}\rangle={(3/8)(N-1)/N}$. Все эти простые формулы неверны в случае четного числа узлов цепочки $N$.