Дисперсия лагранжевых траекторий в случайном крупномасштабном поле скорости

Изучается статистика расстояния $R(t)$ между двумя лагранжевыми траекториями в пространственно-гладком турбулентном поле скорости с произвольным временем корреляции и с негауссовым распределением. В этой ситуации имеются два безразмерных параметра: $\alpha$ – степень отличия от гауссовой статистики, и $\beta =\tau D$, где $\tau$ – время корреляции скорости, а $D$ – характерный градиент скорости. Асимптотически $R(t)$ имеет логнормальную статистику, которую можно характеризовать средней скоростью разбегания $\bar\lambda$ и дисперсией $\Delta$. Использована техника большой размерности пространства $d$ для оценки величин $\bar\lambda$ и $\Delta$ при различных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$. В работе [1] было продемонстрировано, что $\bar\lambda\sim D$ при $\beta\ll1$ и $\bar\lambda\sim\sqrt{D/\tau}$ при $\beta\gg1$. При этом оценка $\Delta$ не универсальна и зависит от деталей парного коррелятора скорости. С корреляторами скорости высшего порядка связан дополнительный вклад в дисперсию $\Delta$, который может быть оценен как $\alpha D^2\tau$ при $\beta\ll1$ и $\alpha\beta/\tau$ при $\beta\gg1$. Если $\alpha$ превышает некоторое критическое значение $\alpha_\mathrm{cr}$, значения $\bar\lambda$ и $\Delta$ определяются высшими неприводимыми корреляторами градиента скорости и наша схема перестает работать. Это критическое значение может быть оценено как $\alpha_\mathrm{cr}\sim\beta^{-1}$ при $\beta\ll1$ и $\alpha_\mathrm{cr}\sim\beta^{-1/2}$ при $\beta\gg1$.