Проективная прямая над конечным фактор-кольцом $GF(2)[x]/\langle x^3-x\rangle$ и квантовое зацепление. Теоретические основы

Рассматривается проективная прямая над конечным фактор-кольцом $R_{\diamondsuit}\equiv{GF}(2)[x]/\langle x^3-x\rangle$. Прямая состоит из 18 точек, образующих окрестности трех попарно удаленных точек. Поскольку $R_{\diamondsuit}$ не является локальным кольцом, отношение близости (или параллельности) не является отношением эквивалентности, так что множества точек, близких к двум удаленным точкам, пересекаются. Существуют девять точек, близких к любой данной точке прямой, которые образуют три различных семейства по отношению к редукции по модулю любого из двух максимальных идеалов кольца. Два семейства из трех содержат по четыре точки каждое, и они меняются местами при переходе от одного идеала к другому; точки одного семейства сливаются с данной точкой (ее образом), в то время как точки другого семейства попарно отходят к оставшимся двум точкам ассоциированной обыкновенной проективной прямой второго порядка. Единственная точка оставшегося семейства под действием обоих отображений переходит в опорную точку; существование такой точки обусловлено нетривиальным характером радикала Джекобсона ($\mathcal J_{\diamondsuit}$) рассматриваемого кольца. Фактор-кольцо $\widetilde R_{\diamondsuit} \equiv R_{\diamondsuit}/\mathcal J_{\diamondsuit}$ изоморфно кольцу ${GF}(2)\otimes{GF}(2)$. Проективная прямая над кольцом $\widetilde R_{\diamondsuit}$ содержит девять точек, каждая из которых окружена четырьмя близкими точками и таким же количеством удаленных точек, и любые две удаленные точки обладают частично пересекающимися окрестностями. Предполагается, что эти две замечательные геометрии над кольцами подходят для моделирования перепутанных кубитных состояний, что обсуждается во второй части данной работы.