Геодезическая эквивалентность метрик как частный случай интегрируемости геодезических потоков

Рассмотрена связь между геодезически эквивалентными метриками и интегрируемыми геодезическими потоками. Если две различные метрики на одном многообразии имеют одинаковые геодезические, то геодезические потоки этих метрик допускают достаточно много интегралов (специального вида) в инволюции и наоборот. Существует также квантовый вариант этого результата: если две метрики на одном многообразии имеют одинаковые геодезические, то оператор Бельтрами–Лапласа $\Delta$ для каждой метрики допускает достаточно много линейных дифференциальных операторов, коммутирующих с $\Delta$. Отсюда следует, что топология многообразия (с двумя различными метриками с одинаковыми геодезическими) должна быть достаточно проста. Кроме того, из непропорциональности метрик в точке следует непропорциональность метрик почти во всех точках.