Дифференциальная $\mathscr U$-модульная алгебра для $\mathscr{U}=\overline{\mathscr U}_{\mathfrak{q}}s\ell(2)$ в четном корне из единицы

Показано, что полная матричная алгебра $\operatorname{Mat}_p(\mathbb C)$ является $\mathscr U$-модульной алгеброй для $\mathscr U=\overline{\mathscr U}_{\mathfrak{q}}s\ell(2)$ – квантовой группы $s\ell(2)$ в корне $2p$-й степени из единицы. $\operatorname{Mat}_p(\mathbb C)$ разлагается в прямую сумму проективных $\mathscr U$-модулей $\mathscr{P}^+_n$ по всем нечетным $n$, $1\leq n\leq p$. В терминах генераторов и соотношений эта $\mathscr U$-модульная алгебра описывается как алгебра $q$-дифференциальных операторов “от одной переменной” с соотношениями $\partial z=\mathfrak q-\mathfrak q^{-1}+\mathfrak q^{-2}z\partial$ и $z^p=\partial^p=0$. Эти соотношения определяют “парафермионную” статистику, обобщающую фермионные коммутационные соотношения. В соответствии с двойственностью Каждана–Люстига она должна реализовываться в логарифмических $(p,1)$-моделях конформной теории поля в формализме, обладающем явной квантово-групповой симметрией. Двойственность Каждана–Люстига между $\mathscr U$ и логарифмическими $(p,1)$-моделями расширяется путем построения квантового комплекса де Рама новой $\mathscr U$-модульной алгебры; обсуждается его полевой аналог.