Интегрируемые $N$-мерные системы на алгебре Хопфа и $q$-деформации

Построен класс интегрируемых классических и квантовых систем на алгебрах Хопфа, описывающих $n$ взаимодействующих частиц. Получена общая структура интегрируемой гамильтоновой системы для алгебры Хопфа $A(g)$ простой алгебры Ли $g$, из которой следует, что интегралы движения зависят от линейных комбинаций $k$ координат фазового пространства, $2\cdot\mathrm{ind}g\leq k\leq\mathbf g\cdot\mathrm{ind}g$, где $\mathrm{ind}g$ и $\mathbf g$ – индекс и число Кокстера алгебры Ли $g$. Проведена стандартная процедура $q$-деформации и получена соответствующая интегрируемая система. Общая схема проиллюстрирована на примерах алгебр $sl(2)$, $sl(3)$ и $o(3,1)$. Для квантового аналога $N$-мерной гамильтоновой системы на алгебре Хопфа $A\bigl(sl(2)\bigr)$ построено точное решение с помощью метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений.