Топологическое разложение модели $\beta$-ансамбля и квантовая алгебраическая геометрия в рамках секторного подхода

Решения петлевых уравнений модели $\beta$-ансамбля строятся в виде, аналогичном решению в случае эрмитовых матриц ($\beta=1$). При $\beta=1$ решение выражается в терминах алгебраической спектральной кривой, задаваемой уравнением $y^2=U(x)$. При произвольном $\beta$ уравнение спектральной кривой превращается в уравнение Шредингера $\bigl((\hbar\partial)^2-U(x)\bigr)\psi(x)=0$, в котором $\hbar\propto\bigl(\sqrt\beta-1/\sqrt\beta\,\bigr)/N$. Основные ингредиенты метода, основанного на алгебраическом решении, сохраняют свою значимость, но в то же время использован альтернативный подход к построению решения петлевого уравнения, в котором резольвенты задаются отдельно в каждом из секторов. Хотя технически этот подход оказывается более сложным, в его рамках удается задать внутренне непротиворечивым образом структуру ${\mathcal B}$-циклов для построенной квантовой алгебраической кривой (или D-модуля вида $y^2-U(x)$, где $[y,x]=\hbar$) и выписать в явном виде корреляционные функции и соответствующие симплектические инварианты ${\mathcal F}_h$, или члены разложения свободной энергии по $1/N^2$ при произвольном $\hbar$. Набор “плоских” координат включает в себя времена потенциала $t_k$ и чи́сла заполнения $\widetilde{\epsilon}_\alpha$. Даются определения и исследуются свойства ${\mathcal A}$- и ${\mathcal B}$-циклов, форм первого, второго и третьего родов и билинейные тождества Римана. Эти тождества позволяют найти сингулярную часть ${\mathcal F}_0$, зависящую только от $\widetilde{\epsilon}_\alpha$.