Графы Паули, гипотеза Римана и гольдбаховы пары

Рассматривается группа Паули $\mathcal{P}_q$, порождаемая унитарными квантовыми генераторами сдвига $X$ и умножения $Z$, действующими на векторы в $q$-мерном гильбертовом пространстве. Известно, что число максимальных взаимно коммутирующих подмножеств внутри $\mathcal{P}_q$ задается пси-функцией Дедекинда $\psi(q)$, и для этой функции справедливо неравенство, содержащее постоянную Эйлера $\gamma \sim 0.577$, которое выполняется только для специальных малых размерностей $q\in\mathcal{A}=\{2,3,4,5,6,8,10,12,18,30\}$. Множество $\mathcal{A}$ тесно связано с множеством $\mathcal{A}\cup\{1,24\}$ целых чисел, являющихся полностью гольдбаховыми, т. е. такими числами $n$, что для всех простых чисел $p<n-1$, не являющихся делителями $n$, числа $n-p$ сами оказываются простыми. В случае исключительно высоких размерностей, равных примориальным числам $N_r$, можно ввести функцию Харди–Литтлвуда $R(q)$ для оценки числа гольдбаховых пар, что приводит к новому неравенству, устанавливающему эквивалентность гипотезе Римана для $R(N_r)$. Указанные теоретико-числовые свойства обсуждаются в применении к коммутационной структуре кудитов.