Фермионы нулевой массы в потенциалах Кулона и Ааронова–Бома в ${2+1}$ измерениях

Рассмотрена задача о движении релятивистского заряженного фермиона нулевой массы в потенциалах Кулона и Ааронова–Бома в ${2+1}$ измерениях. Построены однопараметрические самосопряженные гамильтонианы Дирака с этими сингулярными внешними потенциалами, которые классифицированы самосопряженными граничными условиями. Показано, что если так называемый эффективный заряд становится сверхкритическим, то возникают виртуальные (квазистационарные) связанные состояния. Соответствующие этим состояниям волновые функции имеют большие амплитуды вблизи кулоновского центра, а их энергетический спектр квазидискретен и состоит из ряда размытых уровней, ширина которых связана с обратным временем жизни квазистационарного состояния. Выведены уравнения, определяющие квазидискретные спектры и времена жизни квазистационарных состояний, найдены решения этих уравнений в физически интересных случаях. Так называемые локальные плотности состояний, которые можно проверять в физических экспериментах, изучаются как функции энергии и параметров задачи; локальные плотности состояний исследованы как аналитически, так и графически.