Формальная диагонализация дискретного оператора Лакса и законы сохранения и симметрии динамических систем

Рассматривается задача построения формального асимптотического разложения по спектральному параметру для собственной функции дискретного линейного оператора. Предложен метод построения такого разложения, позволяющий находить законы сохранения для дискретных динамических систем, ассоциированных с заданным линейным оператором. В качестве иллюстративных примеров рассматриваются такие известные нелинейные модели, как дискретное потенциированное уравнение Котевега–де Фриза, дискретная версия нелинейного уравнения Шредингера с производной, одевающая цепочка Веселова–Шабата и другие. Описаны бесконечные серии законов сохранения для дискретной цепочки Тоды, соответствующей алгебре Ли $A_1^{(1)}$. Найдены новые примеры интегрируемых систем уравнений на квадратной решетке.