Решения многомерных уравнений в частных производных, представимых в виде одномерного потока
А. И. Зенчук Институт проблем химической физики РАН, Черноголовка, Московской обл., Россия
Аннотация:
Предложен алгоритм, с помощью которого
$(M+1)$-мерное нелинейное уравнение в частных
производных, представимое в виде одномерного потока,
$u_t+w_{x_1}(u,u_{x},u_{xx},\dots)=0$ (где
$w$ – произвольная локальная
функция от
$u$ и ее производных по
$x_i$,
$i=1,\dots,M$), сводится к семейству
$M$-мерных нелинейных уравнений в частных производных
$F(u,w)=0$, где
$F$ – общее (или частное) решение некоторого двумерного нелинейного
уравнения в частных производных второго порядка. В частности,
$M$-мерное
уравнение может оказаться обыкновенным дифференциальным уравнением,
которое в некоторых случаях может быть проинтегрировано с получением
явных решений исходного (
$M+1$)-мерного уравнения. Кроме того, можно
ввести спектральный параметр в функцию
$F$, что приводит к линейному
спектральному уравнению, связанному с исходным уравнением. Представлены
простейшие примеры нелинейных уравнений в частных производных вместе с их
явными решениями.
Ключевые слова:
метод характеристик, теория интегрируемости, граничные условия, частные
решения, редукции низшей размерности.
PACS:
02.30.Jr 02.30.Ik 47.35.-i
MSC: 35Q35 35Q53 Поступило в редакцию: 19.09.2013
DOI:
10.4213/tmf8597