О тождествах типа Якоби в алгебрах и супералгебрах

Вводятся два замечательных тождества для любых трех элементов произвольных ассоциативных алгебр, записываемых в терминах одинарных коммутаторов и антикоммутаторов. Одно из этих тождеств является следствием другого (фундаментального). Из фундаментального тождества выводится набор четырех тождеств (одно из которых есть тождество Якоби), представленных через двойные коммутаторы и антикоммутаторы. Устанавливается, что два из четырех тождеств являются независимыми. Показано, что если в алгебре выполняется фундаментальное тождество, тогда умножение является ассоциативным. Найдено обобщение полученных результатов на суперслучай. Приведено обобщение фундаментального тождества для случая произвольного числа элементов. Обсуждаются аналоги фундаментального тождества для невырожденных четных симплектических (супер)многообразий.