Об операторе Шредингера с суперпозицией короткодействующего и точечного потенциалов

Исследуется класс операторов Шредингера, для которых потенциальный член является суммой короткодействующего $V(\boldsymbol{r})$ и точечного потенциалов. Внимание уделено случаю, когда короткодействующий потенциал имеет особенность на носителе $r=0$ точечного взаимодействия. Точечное взаимодействие построено с помощью асимптотики при $\boldsymbol{r}\to 0$ функции Грина оператора Шредингера $-\Delta +V(\boldsymbol{r})$ с короткодействующим потенциалом $V$. Рассмотрены потенциалы, имеющие в начале координат особенность вида $r^{-\rho}$ с $\rho>0$. Исследование производится при помощи интегрального уравнения Липпмана–Швингера. Показано, что если особенность потенциала слабее, чем кулоновская, то асимптотика функции Грина имеет стандартное сингулярное поведение. В случае особенности потенциала вида $r^{-\rho}$ с $1\le\rho<3/2$ в асимптотике функции Грина возникает дополнительная сингулярность. В случае $\rho=1$ дополнительная логарифмическая сингулярность имеет ту же форму, что и в случае кулоновского потенциала. В случае $1<\rho<3/2$ дополнительная сингулярность имеет вид полярной особенности $r^{-\rho+1}$.