Трехмерная $O(n)$-$\phi^4$-модель в плоско-параллельном слое со свободными граничными условиями: точные результаты для нетривиального размерного кроссовера в пределе $n\to\infty$

Дан краткий обзор недавних результатов точных расчетов критических сил Казимира в $O(n)$-$\phi^4$-модели при $n\to\infty$ для трехмерного слоя ширины $L$, ограниченного двумя параллельными плоскостями со свободными граничными условиями. В этой модели дальний порядок имеет место при температурах ниже критической точки $T_{\mathrm c}$ объемного фазового перехода только в пределе $L\to\infty$, однако дальний порядок в модели отсутствует при всех температурах $T>0$ при произвольной конечной ширине слоя $L<\infty$. Последовательное описание скейлингового поведения системы вблизи $T_{\mathrm c}$ оказывается весьма сложной задачей, так как наряду с объемным и поверхностным скейлингом, а также конечно-размерным скейлингом необходимо учитывать нетривиальный размерный кроссовер. Модель допускает точное решение в пределе $n\to\infty$ в терминах собственных значений и собственных функций самосогласованного уравнения Шредингера. Это решение содержит потенциал $v(z)$, который имеет при $z\to +0$ сингулярное поведение $v(z)\approx-1/(4z^2)+4m/(\pi^2z)$ в приграничном слое, где $m=1/\xi_+(|t|)$ – обратная корреляционная длина в объемной системе, $t\sim(T-T_{\mathrm c})/T_{\mathrm c}$, и аналогичная сингулярность имеет место вблизи второй граничной плоскости. В недавней работе нами совместно с соавторами численными методами с высокой точностью были вычислены потенциал $v(z)$, избыточная свободная энергия и сила Казимира. Дано объяснение того, как эти численные результаты могут быть дополнены точными аналитическими результатами для целого ряда величин (коэффициенты разложения потенциала $v(z)$, данные рассеяния для потенциала $v(z)$ в полубесконечной геометрии $L=\infty$ при всех значениях $m\gtreqless 0$, низкотемпературная асимптотика избыточной свободной энергии и силы Казимира). Эти аналитические результаты были получены сочетанием таких методов, как операторные разложения, обобщенная теория обратной задачи рассеяния, новая формула следов и квазиклассические (ВКБ) разложения.