Канонический ансамбль частиц, блуждающих без самопересечений

Рассматривается ансамбль не взаимодействующих между собой частиц, случайно блуждающих в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^d$. Отдельные перемещения каждой частицы подчинены одному и тому же распределению, но после завершения каждого такого перемещения ее положение фиксируется “меткой” – областью в виде шара диаметра $r_0$, недоступной для последующих посещений этой частицей. В результате в пространстве $\mathbb R^d$ получен соответствующий ансамбль “меченых” траекторий, в каждой из которых расстояние между центрами любой пары указанных шаров больше $r_0$. Изложен метод вычисления асимптотики плотности вероятности $W_n(\mathbf r)$ расстояния $r$ между центрами начального и конечного шаров траектории, состоящей из $n$ отдельных перемещений некоторой частицы ансамбля. Помимо расстояния $r$, случайной величиной в рассматриваемой модели является и число $n$ – модуль траектории, что обусловливает необходимость определения распределения для $n$, в качестве которого используется каноническое распределение, полученное при наиболее вероятном распределении частиц в ансамбле по модулям их траекторий. Усреднение плотности $W_n(\mathbf r)$ по каноническому распределению модуля $n$ позволяет найти асимптотику плотности вероятности расстояния $r$ между концами траекторий частиц канонического ансамбля, блуждающих без самопересечений в $\mathbb R^d$, когда $2\leq d<4$.