О некоторых матричных функциональных уравнениях

Исследуется пара матричных функциональных уравнений $\mathbf{G}(x) \mathbf{F}(y)=\mathbf{G}(xy)$, $\mathbf{G}(x)\mathbf{G}(y)=\mathbf{F}(y/x)$ c двумя независимыми скалярными переменными $x,y$ и двумя $(N\times N)$-матрицами $\mathbf{F}(z)$, $\mathbf{G}(z)$, где $N$ – произвольное положительное целое число, причем элементы этих матриц являются функциями скалярной переменной $z$. Рассматривается простейший класс решений, т. е. такие матрицы, все элементы которых являются аналитическими функциями независимой переменной. Тогда как в скалярном ($N=1$) случае такая пара функциональных уравнений обладает только совершенно тривиальными постоянными решениями, в матричном ($N>1$) случае существуют нетривиальные решения. Полученные решения удовлетворяют дополнительной паре функциональных уравнений $\mathbf{F}(x)\mathbf{G}(y)=\mathbf{G}(y/x)$ и $\mathbf{F}(x)\mathbf{F}(y) =\mathbf{F}(xy)$, а также бесконечной иерархии дополнительных функциональных уравнений, содержащих более двух независимых переменных.