Физика самосопряженных расширений: одномерная задача рассеяния для кулоновского потенциала

В работе рассматривается одномерная одноцентровая задача рассеяния на всей прямой с исходным потенциалом $\alpha|x|^{-1}$, которая сводится к поиску допустимых самосопряженных расширений. Использование в качестве необходимых условий законов сохранения в точке сингулярности наряду с учетом аналитической структуры фундаментальных решений позволяет получить точные выражения для волновых функций (т.е. для граничных условий), коэффициентов рассеяния и сингулярных поправок к потенциалу, а также соответствующий спектр связанных состояний. При этом оказывается, что точечные $\delta$-образные поправки к потенциалу должны присутствовать в обязательном порядке при любом выборе допустимого самосопряженного расширения, причем вид этих поправок соответствует виду перенормировочных членов, получаемых в квантовой электродинамике. Таким образом, предложенный метод показывает однозначную связь граничных условий, коэффициентов рассеяния и $\delta$-образных добавок к потенциалу и в целом демонстрирует возможности, которые возникают при анализе самосопряженных расширений соответствующего оператора Гамильтона. При этом в части, касающейся теории перенормировок, он может рассматриваться как обобщение метода перенормировок Боголюбова, Парасюка и Хеппа.