$(2+1)$-мерная гравитация, взаимодействующая с пылевой оболочкой. Квантование в терминах глобальных переменных фазового пространства

Проводится канонический анализ модели, в которой гравитация взаимодействует со сферически-симметричной пылевой оболочкой в $2+1$ измерениях пространства-времени. Результатом является редуцированное действие, зависящее от конечного числа степеней свободы. Основной акцент сделан на нахождении канонических переменных, которые обеспечили бы глобальную параметризацию всего фазового пространства модели. Оказывается, что различные области импульсного пространства, соответствующие различным ветвям решения уравнений Эйнштейна, образуют единое многообразие с геометрией AdS$_2$. Глобальная параметризация этого многообразия обеспечивается углами Эйлера. Квантование в этих переменных ведет к некоммутативности, а также к дискретности в координатном пространстве, что позволяет устранить центральную сингулярность. Также найдено преобразование между полученным здесь импульсным пространством AdS$_2$ и импульсным пространством в переменных Кухаржа, что может оказаться полезным при обобщении полученных результатов на случай $3+1$ измерений.