ВКБ-разложение для производящей функции Янга–Янга и тау-функция Бергмана

Изучаются симплектические свойства отображения монодромии для уравнений второго порядка на римановой поверхности, потенциал которых является мероморфной функцией с полюсами второго порядка. Показано, что скобка Пуассона, определенная в терминах периодов мероморфного квадратичного дифференциала, порождает пуассонову структуру скобок Голдмана на многообразии матриц монодромии. Эти результаты используются для анализа рассматриваемого уравнения с помощью ВКБ-разложения. Показано, что ведущий член этого разложения для производящей функции симплектоморфизма монодромии (функции Янга–Янга, введенной Некрасовым, Рослым и Шаташвили) определяется тау-функцией Бергмана на пространстве модулей мероморфных квадратичных дифференциалов.