Операторы рекурсии и иерархии модифицированных уравнений Кортевега–де Фриза, связанные с алгебрами Каца–Муди $D_4^{(1)}$, $D_4^{(2)}$ и $D_4^{(3)}$

Построены три неэквивалентные градуировки алгебры $D_4 \simeq so(8)$. Первая градуировка стандартна, она получается с помощью автоморфизма Коксетера $C_1=S_{\alpha_2} S_{\alpha_1}S_{\alpha_3}S_{\alpha_4}$ из ее диэдрального представления, во второй используется $C_2 = C_1R$, где $R$ – зеркальный автоморфизм, в третьей – $C_3 = S_{\alpha_2}S_{\alpha_1}T$, где $T$ – внешний автоморфизм порядка 3. Для каждой градуировки построены базис в соответствующих линейных подпространствах $\mathfrak{g}^{(k)}$, орбиты автоморфизмов Коксетера и соответствующие пары Лакса, порожденные соответствующими иерархиями модифицированных уравнений Кортевега–де Фриза (мКдФ). Найдены компактные выражения для каждой иерархии в терминах операторов рекурсии. Явно выписаны первые нетривиальные уравнения мКдФ и их гамильтонианы. В действительности для $D_4^{(1)}$ имеются две системы мКдФ, так как в этом случае показатель $3$ имеет кратность 2. Каждая из этих систем мКдФ состоит из четырех уравнений третьего порядка по $\partial_x$. Для $D_4^{(2)}$ это система из трех уравнений третьего порядка по $\partial_x$, для $D_4^{(3)}$ это система из двух уравнений пятого порядка по $\partial_x$.