Симметрия Ли, анализ нелокальных симметрий и взаимодействие решений $(2+1)$-мерного уравнения КдФ-мКдФ

Метод анализа симметрий Ли используется для исследования $(2+1)$-мерного уравнения КдФ-мКдФ. С помощью метода Ибрагимова, который опирается только на таблицу коммутаторов, построена оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ли. На основе рассмотрения представителей оптимальной системы изучаются инвариантные решения и редукции, основанные на подобии решений. Для анализа некоторых свойств нелокальной симметрии применяется метод усеченного расширения Пенлеве, получены два преобразования Беклунда, не являющиеся автопреобразованиями, и одно автопреобразование Беклунда. Чтобы локализовать нелокальную симметрию и получить локальную точечную симметрию Ли, вводится расширенная система. С помощью решения соответствующих задач Коши для точечных симметрий Ли доказана теорема о конечном преобразовании симметрии и найдено $n$-е преобразование Беклунда, выраженное через определители. На основе одного из полученных преобразований Беклунда, не являющегося автопреобразованием, выведены решения типа лампов. Кроме того, доказана интегрируемость уравнения методом согласованного преобразования Риккати. В явном виде выписаны решения типа солитонных кноидальных волн. Динамические характеристики полученных решений исследуются с помощью численного анализа.