Application of difference schemes to decision the pursuit problem

В работе рассматривается один из аспектов задачи о преследовании: построение траекторий движения преследователя для случая, когда преследование осуществляется по методу погони, то есть касательная, проведенная к траектории движения преследователя в любой момент времени, проходит через положение точки, которая ассоциируется с преследуемым. Предлагается новый подход построения кривых погони путем использования разностных схем. Данная методика позволяет отказаться от необходимости составлять дифференциальные уравнения для описания кривых погони, что бывает достаточно сложно сделать в общем случае. Кроме того, применение разностных схем обосновано в ситуации, когда нахождение аналитического решения уже имеющегося дифференциального уравнения затруднительно, и дает возможность получить кривую погони численным способом. Построены различные модификации разностных схем, являющиеся аналогами схем на основе методов Эйлера, Адамса — Башфорта и Милна. Осуществлена их программная реализация с помощью математического пакета Mathcad. Рассмотрен случай равномерного прямолинейного движения преследуемого, для которого известно дифференциальное уравнение, описывающее траекторию преследователя, и его аналитическое решение. Проведен сравнительный анализ полученных разными методами численных решений и известного аналитического решения. Найдена погрешность полученных численных реализаций. Рассмотрено применение построенных разностных схем для более общего случая произвольной траектории преследуемого. Также описан алгоритм распространения предложенного метода для случая циклического преследования с несколькими участниками в трехмерном пространстве. В частности, построена разностная схема, аналогичная методу Эйлера, для трехмерного аналога «задачи о жуках». Полученные результаты продемонстрированы на анимационных примерах как для двумерного, так и трехмерного случаев.