Постквантовые двухключевые криптосхемы на конечных алгебрах

Одним из направлений разработки практичных постквантовых криптографических алгоритмов с открытым ключом является использование конечных алгебр в качестве их алгебраического носителя. Рассматриваются два подхода в этом направлении: 1) построение алгоритмов электронной цифровой подписи со скрытой группой на некоммутативных ассоциативных алгебр и 2) построение алгоритмов многомерной криптографии с использованием операции экспоненцирования в векторном конечном поле (коммутативной алгебре, являющейся конечным полем) для задания нелинейного отображения с секретной лазейкой. Первый подход включает разработку криптосхем двух типов: основанных на вычислительной трудности а) скрытой задачи дискретного логарифмирования и б) решения большой системы квадратных уравнений. Для второго подхода возникают проблемы обеспечения полной рандомизации цифровой подписи и задания некоммутативных ассоциативных алгебр большой размерности. Обсуждаются способы решения данных проблем. Показана важность исследования строения конечных некоммутативных алгебр с точки зрения декомпозиции на множество коммутативных подалгебр. Другое направление использования конечных алгебр для разработки криптографических алгоритмов с открытым ключом связано с существенным (в 10 и более раз) уменьшением размера открытого ключа в алгоритмах многомерной криптографии. В нем возникает проблема разработки формализованных параметризуемых унифицированных способов задания векторных конечных полей больших размерностей (от 5 до 130) с достаточно большим числом потенциально реализуемых типов и модификаций (до 2$^{500}$ и более), задаваемых различными наборами структурных констант, с помощью которых определяется операция умножения векторов. Предложены варианты указанных способов и топологий нелинейных отображений на векторных конечных полях различных размерностей. Показано, что использование отображений, задающих операцию экспоненцирования в векторных конечных полях, потенциально обеспечивает устранение основного недостатка известных алгоритмов многомерной криптографии, связанного с большим размером открытого ключа.