Асимптотика отрицательных собственных чисел задачи Дирихле при плотности переменного знака

Построены асимптотические разложения отрицательных собственных чисел $\lambda^\varepsilon_{-k}$ задачи Дирихле для оператора Лапласа с плотностью, которая принимает малые (порядка $\varepsilon$) отрицательные значения в подобласти фиксированного размера или в малой, диаметром $O(\varepsilon^{1/m})$, окрестности внутренней точки. Такие собственные числа удалены от начала координат, а их порядок относительно малого параметра составляет $\varepsilon^{-1}$ в первом случае и $\varepsilon^{-m/(m+2)}$ во втором. Сформулированы и изучены предельные задачи, к собственным числам которых сходятся при $\varepsilon\rightarrow+0$ величины $-\varepsilon\lambda^\varepsilon_{-k}$ и $-\varepsilon^{m/(m+2)}\lambda^\varepsilon_{-k}$ соответственно. Получены асимптотически точные оценки остатков в разложениях собственных чисел и функций.