Об операторах типа Харди

Г. Г. Харди доказал важное неравенство для конечных и бесконечных сумм арифметически средних в степени $ p, $ где $ p>1,$ и элементов $ {a}_{n}^{p}.$ Затем Г. Г. Харди обобщил это неравенство на интегралы. С функциональной точки зрения интегральное неравенство Г. Г. Харди означает непрерывность оператора Харди-Литтльвуда в лебеговых пространствах $ {L}_{p}, $ где $ p>1.$ В данной статье изучен обобщенный оператор Харди-Литтльвуда с точки зрения ограниченности его действия в симметричных пространствах и более общих идеальных структурах, обладающих свойством Минковского, в которых ограниченно действует оператор растяжения. Получен критерий ограниченности этого оператора $ {H}_{\varphi} $ (Харди-Литтльвуда) в симметричном пространстве $ E $ для случая, когда верхний и нижний показатели функции растяжения $ {\mu}_{\varphi} $ совпадают. Получены достаточные условия ограниченности оператора $ {H}_{\varphi} $ в идеальных структурах с вышеперечисленными свойствами. В частности, получен критерий непрерывности оператора $ {H}_{{t}^{l}} $ в симметричных пространствах. Этот оператор был рассмотрен в монографии С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова, в которой были получены достаточные условия ограниченности этого оператора в $ {L}_{p} $.