Аннотация:
В теории броуновского движения давно рассматриваются и уже
хорошо изучены такие производные от него процессы, как локальное
время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума
на отрезке, точка достижения этого максимума. Известны одномерные
и некоторые совместные распределения этих процессов в
фиксированный момент времени, обнаружено множество взаимосвязей
между ними.
В работе рассматривается простейшее симметричное случайное
блуждание, т.е. блуждание с бернуллиевским шагом, и
определяются дискретные аналоги перечисленных выше функционалов. В
качестве основного результата доказывается некоторое равенство
двух условных трехмерных распределений, связывающее все
построенные дискретные случайные величины. Доказательство
основывается на довольно интересном преобразовании траекторий
случайного блуждания, переставляющем определенным образом
положительные и отрицательные экскурсии.
Делается предельный переход к непрерывному
времени, с помощью которого устанавливается аналогичное равенство
между распределениями функционалов от броуновского движения. Как
в случае дискретного, так и в случае
непрерывного времени это соотношение
ранее нигде не упоминалось.
Ключевые слова:броуновское движение, случайное блуждание, локальное время, время пребывания, положение максимума, распределение, экскурсии.