On the continuity of weak solutions of backward stochastic differential equations

В настоящей статье обсуждается понятие слабого решения общего обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ), введенное авторами и А. Рашкану в [2]. Изучена взаимосвязь между непрерывностью решений, потраекторной единственностью, единственностью по распределению и существованием потраекторно единственного сильного решения. Основной результат утверждает, что если все слабые решения ОСДУ непрерывны, то решение является потраекторно единственным. Следует отметить, что этот результат специфичен для ОСДУ и, разумеется, не имеет аналога в случае (прямых) стохастических дифференциальных уравнений. Как следствие, если существует некоторое слабое решение и все решения непрерывны, то существует потраекторно единственное решение и это решение является сильным. Более того, если управляющий (driving) процесс есть непрерывный локальный мартингал, допускающий предсказуемое представление, то верно и обратное. Другими словами, существование разрывных решений у ОСДУ — это естественное явление в случае, когда нет потраекторной единственности или, в частности, единственности по распределению. Примеры разрывных решений некоторого ОСДУ уже были даны в [2]. Это и явилось побудительным мотивом написания настоящей статьи, цель которой — изучить общую ситуацию.