Асимптотическое поведение случайного блуждания с взаимодействием

В работе рассматривается простейшее одномерное случайное блуждание, в котором статистический вес траектории имеет вид $\pi_\beta(\omega)=\exp\{-\beta\sum_{0\le i<j\le n}V(|\omega_j-\omega_i|)\}$, где $\beta$ играет роль обратной температуры, $V$ — неотрицательная убывающая финитная функция. Мы показываем, что при $\beta>\beta_0$ распределение $\omega_n$ сосредоточено в области $\{|\omega_n|>c\,n\}$, где $c=c(\beta)>0$, а при $\beta<0$ траектория становится локализованной в том смысле, что $\omega_n$ заключено внутри некоторого фиксированного интервала.