Нелинейные преобразования выпуклых мер

Показано, что для заданных равномерно выпуклой меры $\mu$ на $R^\infty$, эквивалентной своему сдвигу на вектор $(1,0,0,\dots)$, и вероятностной меры $\nu$, абсолютно непрерывной относительно $\mu$, найдется борелевское отображение $T=(T_k)_{k=1}^\infty$ пространства $R^\infty$, переводящее меру $\mu$ в $\nu$ и имеющее вид $T(x)=x+F(x)$, где $F$ принимает значения в $l^2$. Более того, если мера $\mu$ есть продакт-мера, то $T$ может быть выбрано треугольным в том смысле, что каждая компонента $T_k$ является функцией от $x_1,\dots,x_k$. Кроме того, для всякой равномерно выпуклой меры $\mu$ на $R^\infty$ и всякой вероятностной меры $\nu$ с конечной энтропией $\textrm{Ent}_\mu(\nu)$ относительно $\mu$ каноническое треугольное отображение $T=I+F$, переводящее $\mu$ в $\nu$, удовлетворяет неравенству $\|F\|_{L^2(\mu,l^2)}^2\le C(\mu){\rm Ent}_\mu(\nu)$. Доказано несколько обратных утверждений. Полученные результаты применимы, в частности, к стандартной гауссовской продакт-мере. В качестве применения дано новое достаточное условие абсолютной непрерывности нелинейного образа выпуклой меры и принадлежности соответствующей производной Радона–Никодима к классу $L\ln L$.