Теория вероятн. и ее примен.,
1997, том 42, выпуск 2, страницы 341–350
(Mi tvp1807)
|
Эта публикация цитируется в
30 статьях
Краткие сообщения
О точной константе в неравенстве Розенталя
Р. Ибрагимов,
Ш. Шарахметов Ташкентский государственный университет, Узбекистан
Аннотация:
Пусть
$\xi_1,\dots,\xi_n$ – независимые симметрично распределенные случайные величины
с конечным
$p$-м моментом,
$2<p<\infty$. В настоящей статье показано, что
точная константа
$C^*_p$ в неравенстве Розенталя
$$
\biggl\|\sum_{i=1}^n\xi_i\biggr\|\le C_p\max\biggl(\biggl\|\sum_{i=1}^n\xi_i\biggr\|_2,\biggl(\sum_{i=1}^n\|\xi_i\|_p^p\biggr)^{1/p}\biggr)
$$
имеет вид
\begin{align*}
C_p^*&=\biggl(1+\frac{2^{p/1}}{\pi^{1/2}}\Gamma\biggl(\frac{p+1}2\biggr)\biggr)^{1/p},
\qquad
2<p<4,
\\
C_p^*&=\|\xi_1-\xi_2\|_p,
\qquad
p\ge4,
\end{align*}
где $\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx$,
$\xi_1$,
$\xi_2$ – независимые пуассоновские случайные величины с параметром 0.5. Доказано также, что
$$
\lim_{p\to\infty}C_p^*\frac{\ln p}p=\frac1e.
$$
Ключевые слова:
неравенство Розенталя, симметрично распределенная случайная величина, пуассоновская случайная величина, момент. Поступила в редакцию: 05.10.1995
DOI:
10.4213/tvp1807
© , 2024