Некоторые оценки скорости сходимости в ЦПТ для мартингалов. I

Настоящая статья касается точности нормальной аппроксимации распределений случайных величин $S_n=\sum_1^nX_m$, где $X_m$ – мартингал-разности. Известно, что в общем случае, даже если третьи моменты слагаемых конечны, точность аппроксимации не может иметь порядок лучший, чем $O(n^{-1/8})$. Если условные дисперсии $\mathsf{E}\{X_m^2\mid X_1,\dots,X_{m-1}\}=\mathsf{E}X_m^2$, то скорость сходимости имеет порядок $O(n^{-1/4})$, в то время как при дополнительном условии независимости слагаемых точность аппроксимации имеет порядок $O(n^{-1/2})$. Настоящая статья представляет попытку объединить упомянутые выше случаи в одной оценке, а также рассмотреть ряд промежуточных ситуаций. Оценка дана в терминах определенных характеристик зависимости между слагаемыми, отражающих влияние различных факторов на скорость сходимости.