Localization vs. delocalization of random discrete measures

Рассматриваются последовательности дискретных случайных мер $\mu^{(n)}$ с атомами $\{\mu_i^{(n)},i=1,2,\dots\}$, $\sum_i\mu_i^{(n)}=1$. Вводятся и обсуждаются понятия (полной) асимптотической локализации и делокализации таких мер в слабом (в среднем и по вероятности) и сильном (с вероятностью 1) смысле с точки зрения поведения старших атомов при $n\to\infty$. Подробно изучен класс мер с атомами вида $\mu_i^{(n)}=X_i/S_n$, $(i=1,\dots,n)$, где $X_1,X_2,\dots$ – последовательность положительных независимых одинаково распределенных случайных величин (с функцией распределения $F$) и $S_n=X_1+\dots+X_n$. Если $\mathsf{E}[X_1]<\infty$, то в силу закона больших чисел для $\mu^{(n)}$ имеет место сильная делокализация. Случай $\mathsf{E}[X_1]=\infty$ изучен при стандартном предположении о регулярности изменения хвоста функции $F$ на бесконечности (с показателем $0\le\alpha\le1$). В работе показано, что при $\alpha<1$ имеет место слабая локализация. В критической точке $\alpha<1$ доказано наличие слабой делокализации. При $\alpha=1$ локализация является сильной, если хвост распределения убывает достаточно медленно.