A Lyapunov-type bound in $R^d$

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ — независимые случайные векторы со значениями в $R^d$ такие, что $E X_k =0$ для любого $k$. Положим $S=X_1+\cdots+X_n$. Будем предполагать, что ковариационный оператор суммы $S$ — обозначим его $C^2$ —обратим. Пусть $Z$ — центрированный гауссовский случайный вектор такой, что ковариации векторов $S$ и $Z$ равны. Обозначим $\mathscr{C}$ класс всех выпуклых подмножеств $R^d$. Мы доказываем оценку типа Ляпунова для $\Delta =\sup_{A\in\mathscr{C}}|P\{S\in A\}-P\{Z\in A\}|$. А именно, $\Delta \le c d^{1/4} \beta$ с ${\beta =\beta_{1}+\cdots+\beta_{n}}$ и $\beta_{k}= E |C^{-1}X_k|^3$, где $c$ — абсолютная постоянная. Если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ независимы и одинаково распределены и $X_k$ имеет единичную ковариацию, то полученная оценка преобразуется к виду $\Delta \le c d^{1/4} E\,|X_1|^3/\sqrt{n}$. Вопрос, может ли множитель $d^{1/4}$ быть убран или заменен на лучший (например, на 1), остается открытым.