Вероятности больших уклонений для сумм независимых случайных векторов на границе и вне крамеровской зоны. I

Настоящая работа, состоящая из двух частей, является продолжением работ [1]–[5] и посвящена изучению асимптотики вероятности попадания сумм независимых случайных векторов в малый куб с вершиной в точке $x$ в области больших уклонений. В работах [1], [2] изучалась в основном задача о “регулярных уклонениях” (задача [A] в терминологии [1], [2]), когда относительные (нормированные) уклонения $x/n$ ($n$ —число слагаемых в сумме) находятся в области аналитичности функции уклонений слагаемого (так называемая крамеровская зона уклонений) и при этом $|x|/n\to\infty$ (сверхбольшие уклонения). В настоящей работе исследуется альтернативная задача о “нерегулярных уклонениях”, когда $x/n$ либо приближается к границе крамеровской зоны уклонений, либо удаляется от этой зоны (задача [B] в терминологии работ [1], [2]). В этом случае задачи о больших уклонениях во многом оставались не изученными. В части I настоящей работы для уклонений, расположенных вблизи границы крамеровской области, искомую асимптотику удается найти при весьма широких условиях в общем многомерном случае. Кроме того, в одномерном случае рассмотрены также уклонения, удаленные от крамеровской зоны. В этом случае требуются дополнительные условия правильного изменения распределений слагаемых на бесконечности.