Bessel processes, the integral of geometric Brownian motion, and Asian options

Статья возникла под влиянием вопросов о средних значениях случайных процессов, возникающих в финансовой математике в связи с отысканием цены так называемых Азиатских опционов.
Начиная с работы [29], эти вопросы об экспоненциальных функционалах от броуновского движения изучались в терминах процессов Бесселя с помощью теории Хартмана–Ватсона [27], и результаты о преобразованиях Лапласа, полученные в [12], явились заметным продвижением в оценивании Азиатских опционов. К сожалению, возник ряд затруднений с ключевыми результатами последней статьи, которые и обсуждаются в данной статье. Одно из этих затруднений носит принципиальный характер и проистекает из самого подхода Хартмана–Ватсона: этот подход, как правило, применим без модификаций, только если он не сталкивается с процессами Бесселя с отрицательными индексами. В настоящей статье мы развиваем три подхода к преодолению этих трудностей, в частности, по-новому комбинируя стохастические методы и комплексный анализ, и обсуждаем их следствия для нахождения цены Азиатских опционов.