Об одном семействе преобразований гауссовских случайных функций

В недавней статье [6] П. Деовельс показал, что для стандартного броуновского моста $B(t)$, $0\le t\le 1$, справедливо равенство по распределению
\begin{equation} \tag{1} \mathscr{Y}_K(t)\stackrel{d}{=}\mathscr{Y}_{2-K}(t), \qquad t\in [0,1], \quad K\in \mathbf{R}, \end{equation}
где $\mathscr{Y}_K(t)=B(t)-6Kt(1-t)\int_0^1B(s)\,ds$. Кроме того, им было получено явное разложение Карунена–Лоэва (КЛ) для процесса $\mathscr{Y}_1(t)$.
В настоящей работе для гауссовских случайных функций общего вида, имеющих нулевые средние, вводятся однопараметрические семейства преобразований, для которых выполнено соотношение, обобщающее $(1)$. В случае, когда $L_2$-норма исходной функции конечна п.н., выводится явное соотношение между точными асимптотиками вероятностей $L_2$-малых уклонений преобразованной и исходной функции. Для одномерных процессов, порождающих краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, в случае, когда известно КЛ-разложение для исходного процесса, получено также КЛ-разложение для преобразованных процессов.