Эргодические свойства множеств, определяемых частотами цифр

Рассматривается интеграл от измеримой случайной функции по неотрицательной мере $m$. Показано, что такой интеграл может вводиться как предел по вероятности интегралов от простых случайных функций. Доказан аналог теоремы Лебега для сходимости по вероятности $\int\xi_n(x)\,dm$, $n\to\infty$. Получен критерий того, чтобы случайная мера представлялась в виде такого интеграла.