Аннотация:
Пусть $\{\mathbb{Z}(t):t=0,1,\dots\}$ – критический ветвящийся процесс
Гальтона–Ватсона с $K$ типами частиц, а ${\mathbf w}=(w_1,\dots,w_K)^T$ – вектор
с действительными компонентами. Известно, что при довольно
общих условиях на характеристики исходного процесса последовательность
$\langle{\mathbb Z}(t),{\mathbf w}\rangle:=\sum_kZ_k(t)w_k$, при соответствующей нормировке
и условии невырождения, сходится по распределению при $t\uparrow\infty$ ([8]). Однако этот предел является вырожденным с единичным
атомом в 0, если вектор $\mathbf w$ существенно отличается от вектора
“типичных” пропорций числа частиц различных типов, т.е. если $\mathbf w$ ортогонален левым собственным векторам, соответствующим
максимальному собственному значению матрицы математических
ожиданий числа потомков частиц процесса. В работе показано,
что в этом случае (при естественных дополнительных ограничениях
на законы распределения числа потомков частиц различных
типов) существует нормировка, обеспечивающая невырожденность
предельного закона. В отличие от случая конечной дисперсии числа
непосредственных потомков, который был рассмотрен ранее в [1]
и [3], предельный закон (например, его “показатель”) существенно
зависит от $\mathbf w$.