Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum

Пусть $B=(B_t)_{0\le t\le1}$ – стандартное броуновское движение, выходящее из нуля, и пусть $S_t=\max_{0\le r\le t}B_r$ для $0\le t\le 1$. Рассмотрим задачу оптимальной остановки
$$ V_*=\inf_\tau{\mathsf E}(B_\tau-S_1)^2, $$
где инфимум берется по всем моментам остановки (относительно $B$) таким, что $0\le\tau\le1$. Мы показываем, что этот инфимум достигается на моменте остановки $\tau_*=\inf\{0\le t\le 1\mid S_t-B_t\ge z_*\sqrt{1-t}\}$, где $z_*=1.12\dots$ – единственный корень уравнения $4\Phi(z_*)-2z_*\varphi(z_*)-3=0$ с $\varphi(x)=(1/\sqrt{2\pi})e^{-x^2/2}$ и $\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(y)\,dy$. Величина $V_*$ равна $2\Phi(x_*)-1$. Метод доказательства основан на представлении $S_i$ в виде стохастического интеграла, случайной замене времени и решении задачи Стефана со свободной границей.