Стохастические соболевские пространства и их граничный след

Наиболее известные вероятностные модели случайных функций (такие как броуновское движение, марковское свободное поле, броуновское движение Леви и многие другие) дают типичные примеры из определенных функциональных классов $\mathbf{W}_2^p(T)$, которые мы называем стохастическими соболевскими пространствами. Хорошо известные cоболевские пространства $W_2^p(T)$ в области $T\subseteq\mathbf{R}^d$ представляют обобщенные функции, характеризуемые наличием принадлежащих $\mathcal{L}_2(t)$ производных порядка $|k|\le p$; общим между этими существенно гладкими функциями и крайне нерегулярными обобщенными случайными функциями $\xi\in W_2^p(T)$ является то, что среднеквадратичные значения $\|(\varphi,\xi)\|^2=\mathbf{E}|(\varphi,\xi)|^2$, $\varphi\in C_0^\infty(T)$, непрерывны относительно соответствующей соболевской нормы $\|\varphi\|_{-p}$. Стохастические соболевские пространства $\mathbf{W}_2^p(T)$ могут быть охарактеризованы
$$ W_2^p(T)\ni\xi=L^*L\xi\otimes\prod_{k=0}^{p-1}\otimes\xi^{(k)}\in\mathbf{W}_2^{-p}(T)\otimes\prod_{k=0}^{p-1}\otimes\mathbf{W}_2^{p-k-1/2}(\Gamma), $$
где $L=\sum_{|k|\le p}a_k\partial^k$ – эллиптический дифференциальный оператор, a $\xi^{(k)}$ – обобщенные некасательные производные порядка $k=0,\dots,p-1$ на границе $\Gamma=\partial T$.