Weak convergence of the empirical process and the rescaled empirical distribution function in the Skorokhod product space

Доказывается асимптотическая независимость эмпирического процесса $\alpha_n=\sqrt{n}\mathbb{F}_n-F$ и масштабированной эмпирической функции распределения $\beta=n(\mathbb{F}_n(\tau+\frac{\cdot}{n})-\mathbb{F}_n(\tau))$, где $F$ — произвольная непрерывная функция распределения, дифференцируемая в некоторой точке $\tau$, а $\mathbb{F}_n$ — соответствующая эмпирическая функция распределения. Этот результат кажется противоречащим интуиции, поскольку для любого $n\in N$ существует детерминированное соответствие между $\alpha_n$ и $\beta_n$. Точнее, показывается, что пара $(\alpha_n, \beta_n)$ сходится по распределению к пределу с независимыми компонентами, а именно к броуновскому мосту с заменой времени и двустороннему процессу Пуассона. Поскольку последние процессы имеют скачки, в частности если сама $F$ имеет скачки, то пространство Скорохода $D(R)\times D(R)$ более всего подходит для моделирования этой сходимости. Мы развиваем теорию сходимости для $D(R)\times D(R)$, доказывая классический принцип, разработанный Ю. В. Прохоровым, гласящий, что сходимость конечномерных распределений и плотность влекут за собою слабую сходимость. Приводится несколько критериев плотности. Наконец, сходимость пары $(\alpha_n,\beta_n)$ влечет сходимость каждой из компонент, таким образом, мы попутно даем исчерпывающее доказательство этих хорошо известных результатов о сходимости в довольно общей постановке. В действительности условие дифференцируемости $F$ хотя бы в одной точке требуется только для сходимости $\beta_n$ и может быть ослаблено.